根据提供的信息，储存柴油通常由以下部门监管：
1. 公安部门：负责查处非法储存行为，并可根据《消防法》和《治安管理处罚法》对非法储存危险物质的行为进行处罚。
2. 交通部门：负责打击无危险货物运输资质擅自从事成品油运输营运的行为，并检查相关证件。
3. 市场监管部门：依法查处未取得执照的加油站点、流动油车以及超出核准登记经营范围的非法经营行为。
4. 应急管理部门（原名安全监督管理部门）：负责应急管理工作，包括对危化品储存的监管。
私人储存柴油通常被视为违法行为，因为柴油属于易燃易爆物品，需要由国家统一管理，个人通常不具备储存条件。储存柴油的仓库需要按照相关规定进行管理，一般由专门的单位负责管理和运营。
