证明连续通常需要使用数学定义和性质。以下是一个关于函数连续性的证明示例：
函数连续性的证明
定义
函数 \（ f \） 在点 \（ a \） 连续的定义是：
1. 函数 \（ f \） 在点 \（ a \） 有定义。
2. 极限 \（\lim_{x \to a} f（x）\） 存在。
3. 极限值等于函数值，即 \（\lim_{x \to a} f（x） = f（a）\）。
证明
设函数 \（ f \） 在区间 \（[a, b]\） 上定义，我们需要证明 \（ f \） 在该区间上连续。
函数有定义
根据题设，函数 \（ f \） 在区间 \（[a, b]\） 上的每一点都有定义，因此满足连续性定义的第一条。
极限存在
我们需要证明对于任意给定的 \（\epsilon > 0\），存在 \（\delta > 0\），使得当 \（0 < |x - a| < \delta\） 时，有 \（\left| f（x） - L \right| < \epsilon\），其中 \（L = \lim_{x \to a} f（x）\）。
极限值等于函数值
由极限的定义，对于任意给定的 \（\epsilon > 0\），存在 \（\delta > 0\），当 \（0 < |x - a| < \delta\） 时，有
\[
\left| f（x） - L \right| < \epsilon
\]
即
\[
L - \epsilon < f（x） < L + \epsilon
\]
由于 \（L = f（a）\），我们可以写为
\[
f（a） - \epsilon < f（x） < f（a） + \epsilon
\]
这表明在点 \（a\），函数 \（f\） 的值被夹逼在 \（\epsilon\）-邻域内，即 \（f（x）\） 在 \（a\） 处连续。
结论
根据以上证明，如果函数 \（ f \） 在区间 \（[a, b]\） 上的每一点都满足连续的定义，则函数 \（ f \） 在该区间上连续。
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请注意，这个证明是基于函数连续的标准定义。对于更复杂的情境，证明方法可能会有所不同。如果您需要关于特定情况的连续证明，请提供详细信息，以便给出更精确的证明
